Парадокс кучи

Изначальная формулировка парадокса его автором – древнегреческим философом Евбулидом Милетским звучала так: “если волосы с головы выпадают по одному, с какого момента человек становится лысым?”. В более поздней интерпретации парадокс звучит так: «если к одному зерну добавлять по зёрнышку, то в какой момент образуется куча?» Возможна и т.н. негативная формулировка, аналогичная евбулидовской: «если удалять из кучи в 1 миллион зёрен по одному зёрнышку, с какого момента она перестаёт быть кучей?».

Для читателя не погруженного в мир парадоксов необходимо пояснить, что “парадокс кучи” в любой своей формулировке предполагает использование индуктивного умозаключения:
1) одно зернышко не образует кучи,
2) добавление одного зернышка не превращает “не-кучу” в “кучу” [или отнимание одного зернышка не превращает кучу в “не-кучу” или “волосатую” голову в лысую].

“Парадокс кучи” сыграл важную роль в развитии математической логики и теории множеств, дав толчок к созданию в середине 60-х годов прошлого века дисциплины под названием “нечеткая логика”, базой которой является понятие “нечёткого множества”.
Тем, кого заинтересует эта тема, рекомендуем перевод лекции преподавателя логики из Оксфордского университета философа Тимоти Уильямсона, который разбирает как «парадокс кучи», так и особенности “нечеткой логики”.

Парадокс кучи, или что нам делать с неопределенностью?

Ключевым моментом, создающим данный парадокс, является навязывание дихотомии “куча” – “не куча” или “волосатый” – “лысый” в ситуации, когда высказывание “быть кучей” или “быть лысым” не является точным. Более того, оно весьма субъективно: одно и то же количество песчинок один считает “кучей”, а другой – нет.

Неизбежна ли дихотомия?

Приведем пример из социологических исследований, в которых часто присутствует вопрос: “одобряете ли вы деятельность [президента / правительства / парламента и т.п.]?”, который предполагает не две, а три опции: “одобряю”, “не одобряю” и “затруднился с ответом”.

Более подробная разбивка – “полностью одобряю”, “скорее одобряю”, “скорее не одобряю”, “полностью не одобряю” и “затруднились с ответом”; при этом обычно последнюю опцию выбирает меньшее число респондентов, нежели в первом варианте. И это легко объяснимо: рамки описания своего субъективного отношения к деятельности политического органа стали менее жесткими.

Еще меньше “затруднившихся” будет при введении 10-балльной шкалы оценки деятельности органа власти [1 – абсолютное неодобрение, 10 – абсолютная поддержка]: они практически полностью распределяются между оценками 4,5,6.

Проводя вполне оправданную в данном случае аналогию, можно ввести шкалу: “куча” – “скорее куча” – “скорее не-куча” – “не-куча” [или в варианте Евбулида: “волосатый” – “скорее волосатый” – “скорее лысый” –“лысый”].

Внимательный читатель может возразить, что вместо одной навязанной дихотомии мы получили сразу три: “куча” / “скорее куча”; “скорее куча” / “скорее не-куча”; “скорее не-куча” / “не-куча”. Это правда, но самое главное что произошло, – мы разделили “кучу” и “не-кучу” промежуточными категориями, которые можно объединить в одну или с помощью не очень изящного определения “уже не “куча”, еще не “не-куча”” или через опцию “трудно сказать”.

Таким образом, уменьшение по одной числа песчинок не одномоментно превращает “кучу” в “не-кучу”, а через ряд этапов. В последнем случае – через этап “трудно сказать”.

Можно ли дать точное определение понятий “куча” или “лысый”?

Вспомним истории из 2020 года, ключевыми словами которого стали “COVID-19” и “локдаун”.
#1 Полиция заходит на вечеринку и пересчитывает количество участников. Если оно оказывается больше определенного числа, выписывается штраф.
#2 Полиция заходит в шахматный клуб, пересчитывает количество игроков и зрителей, делит площадь клуба на это число. Если частное оказывается меньше определенного числа, выписывается штраф.

Мы привели два частных, но вполне наглядных примера того, как столь же неопределенные понятия “большая группа” [на бытовом языке – “толпа”] и “высокая плотность присутствующих” [= “скученность”] обретают вполне конкретное цифровое звучание.

Понятно, что если бы мы дали определение “кучи” через количество находящихся в одном месте песчинок, превышающих некое конкретное число, или “лысины”, как плотности волос на голове, которое меньше конкретной величины, то нам удалось бы выйти на чёткую дихотомию “куча” – “не-куча” или “лысый” – волосатый и снова-таки избежать парадокса.