Парадокс Монти Холла или Парадокс без парадокса
Сегодня мы рассмотрим хороший пример того, как люди склонны считать парадоксом нечто, не укладывающееся в их повседневные представления и стереотипы, хотя речь может идти о задаче, имеющей вполне четкое решение.
Представляем вам парадокс Монти Холла, который стал широко известен благодаря популярному американскому игровому шоу «Давайте заключим сделку» [1963 – 1976], где ведущим был канадский шоумен Монти Холл [1921 – 2017].
Кульминационный момент шоу – угадывание участником за какой из трех дверей находится главный приз – машина, в то время как за двумя другими находятся козы.
После того, как участник указывал на дверь, которую он хотел бы открыть, Монти Холл всегда открывал другую дверь, за которой была коза, после чего предлагал участнику изменить свой выбор.
“Менять или не менять? – Вот в чем вопрос”.
Бытовая логика утверждает: «Остались две двери, и машина с одинаковой вероятностью 50% может оказаться как за одной, так и за другой. Так зачем менять?». Более того, на множестве интернет-форумов, где заходит речь о парадоксе Монти Холла или родственного ему “парадокса заключенного”, до сих пор кипят страсти и приводятся самые изощренные аргументы в пользу этого ответа.
Хотя, на самом деле, правильный ответ – поменять выбор и указать на иную закрытую дверь, чем первоначально, что повышает вероятность выигрыша вдвое!
Определение ключевого изъяна “бытовой логики” проще всего позволяет доказать правильность изменения первоначального выбора.
Если бы ведущий шоу открывал одну из двух оставшихся дверей наугад, и за ней оказалась коза, то “бытовая логика” перешла бы в ранг “железной”, – шансы, что машина находится за одной из двух закрытых дверей 50:50, потому менять изначальный выбор не имеет смысла.
Но Монти Холл, который в отличие от участника шоу знает, где находится автомобиль, открывал вполне конкретную дверь, точно зная, что за ней находится коза. И это никак не влияет на изначальную вероятность того, что машина находится за указанной участником дверью, равную ⅓.
Поясним, зайдя “с другой стороны”: Изначальная вероятность того, что машина находится за одной из двух дверей, не указанных участником шоу, равна ⅔ и складывается из суммы вероятностей того, что она находится за каждой из дверей: ⅓ и ⅓.
После того, как ведущий открыл одну из этих дверей, суммарная вероятность не изменилась, оставшись равной ⅔. Только складывается она сейчас из 0 – вероятности того, что машина находится за открытой дверью и ⅔ – вероятности того, что машина – за закрытой дверью, не указанной участником шоу.
Отсюда и следует решение – дверь необходимо сменить!
Ну, и доказательство “для блондинок”.
Назовем ту дверь, которую вы указали – А; две другие – В и С.
- Если машина находится за дверью А, ведущий откроет откроет любую из дверей В или С.
- Если машина находится за дверью В, ведущий откроет дверь С.
- Если машина находится за дверью С, ведущий откроет дверь В.
Как мы видим, в 2-х случаях из 3-х машина находится за закрытой дверью, не указанной вами. Следовательно, необходимо изменить выбор.
Весьма нагляден мысленный эксперимент со 100 дверями: участник указывает на одну из них, а ведущий открывает 98 других, за каждой из которых – коза. Вероятность того, что за единственной дверью, не открытой ведущим, находится машина составляет 99%, в то время как вероятность того, что участник угадал с первого раза – 1%. Смена выбора увеличивает вероятность выигрыша в 99 раз!
“Задача трех заключенных” является другой формулировкой парадокса Монти Холла, но носит еще более “парадоксальный” характер, хотя никакого парадокса здесь также нет. Чистая теория вероятности!
Трое заключённых, A, B и С, заключены в одиночные камеры и приговорены к смертной казни. Губернатор случайным образом помиловал одного из них.
Стражник, охраняющий заключённых, знает, кто помилован, но не имеет права сказать этого.
Заключённый A просит стражника сказать ему имя одного из двух заключённых, кто будет казнён:
«Если B помилован, скажи мне, что казнён будет C.
Если помилован C, скажи мне, что казнён будет B.
Если они оба будут казнены, а помилован я, подбрось монету, и скажи имя B или C».
Стражник отвечает заключённому A, что будет казнён B.
Заключённый A обрадовался, поскольку считает, что теперь вероятность его выживания стала ½, а не ⅓ , как была до этого.
Заключённый A тайно рассказывает заключённому С о своем общении со стражником и то, что B будет казнён. Заключённый С также рад это слышать, поскольку он полагает, что вероятность выживания заключённого А осталась ⅓ , а вероятность его выживания возросла до ⅔ .
Кто из них прав?
Для начала покажем полную идентичность “задачи трех заключенных” и парадокса Монти Холла.
Представьте себе, что узник А стоит перед тремя дверьми А, В и С– за одной из которых случайным образом находится указ о помиловании, за двумя другими – “электрические стулья”.
В данном случае выбор за него сделан губернатором, поэтому его дверь – А.
Стражник, выступающий в роли Монти Холла, открывает дверь В, за которой расположен электрический стул.
Как мы уже знаем, шансы А от этого не изменились и остались равны ⅓, в то время как шансы С выросли вдвое – до ⅔.
Только, в отличие от шоу Монти Холла, здесь никто не предлагает поменяться местами.
Забудем об этой идентичности двух задач и начнем сначала.
В “задаче трех заключенных” наш пытливый ум мучает вопрос – может ли получение одной и той же информации разным образом повлиять на шансы людей?
Да, может!
Ведь заключенный А, на самом деле, ничего нового о своей судьбе не узнал. И действительно, какие возможны варианты с учетом всех вводных?
Из того, что стражник назвал имя В следует две возможности:
- Был помилован С;
- Был помилован А, а стражник бросал монетку.
Но вероятность этих вариантов не одинакова: 2-й вариант вдвое менее вероятный, чем первый, – в силу “участия” монетки.
То есть, вероятность помилования С возросла до ⅔, а у А они остались на том же уровне – ⅓.
Когда всю эту информацию от А получил заключенный С, он понял, что теперь к нему перешли шансы В, увеличив вероятность помилования С до ⅔.
P.S. В либеральных США уже даже смертная казнь превратилась в вероятностный процесс.
17 ноября с.г. осужденному в штате Алабама не смогли найти вену, чтобы поставить капельницу, из-за чего исполнение приговора пришлось перенести.
Такой же случай произошел в Алабаме в сентябре – Алана Миллера, осужденного за убийство трех человек в 1999, пришлось вернуть в тюрьму.
Это уже третья с 2018 года в Алабаме неудачная попытка казнить с помощью инъекции.
