В этом материале мы поговорим об апориях греческого философа Зенона Элейского [ок. 490 – ок. 430 до РХ], из которых самой известной является “Ахиллес и Черепаха”.
Начнем с того, что термин “апория” переводится как “безысходность”, “тупик”, “неразрешимость”, что вполне соответствует их сути.
Апории Зенона волновали философов и математиков с момента их появления и до сегодняшнего времени. Многие блестящие умы, начиная с Аристотеля и заканчивая гениальным математиком Георгом Кантором, включая Льва Толстого, который посвятил “Ахиллесу и Черепахе” пару страниц “Войны и мира”, потратили большие усилия на опровержение утверждений Зенона.
Все эти мыслители пытались дать ответ на вопрос “в чем неправ Зенон?”, в то время, как разберем вопроса “Что хотел продемонстрировать Зенон?”
Для начала сделаем “шаг назад” и напомним, что Зенон Элейский был учеником и “любимцем” – как политкорректно именует его Платон в диалоге “Парменид” – великого философа Парменида [ок. 540 – ок. 470 до РХ].
Мы не будем здесь подробно останавливаться на философской системе Парменида, которая, несомненно, была революционной для своего времени и оказала огромное влияние на развитие философской мысли. Упомянем лишь, что согласно первому историку философии Диогену Лаэртскому [II – III в. после РХ], «критерием истины называл он [Парменид – ред.] разум; в чувствах же, — говорил он, — точности нет».
Можно добавить, что столь же сомнительным критерием истины, как и ощущения, Парменид признавал опыт.
С учетом сказанного, Александр Пушкин весьма точно передал суть спора Зенона Элейского с Диогеном Синопским [тем самым, который жил в бочке и с днем с факелом искал человека]:
“Движенья нет, сказал мудрец брадатый.
Другой смолчал, но стал пред ним ходить.
Сильнее он не мог бы возразить;
Хвалили все ответ замысловатый.
Но, господа, забавный случай сей
Другой пример на память мне приводит:
Ведь каждый день пред нами Солнце ходит,
Однако ж прав упрямый Галилей».
Апории о движении Зенон составил как иллюстрацию идей своего учителя Парменида. А именно – ощущений наших органов чувств и накопленного опыта недостаточно, чтобы понять и описать процесс движения, который происходит в пространстве и времени.
Апория “Дихотомия” [современная формулировка]: “Чтобы преодолеть путь, нужно сначала преодолеть половину пути, а чтобы преодолеть половину пути, нужно сначала преодолеть половину половины, и так до бесконечности. Поэтому движение не может начаться”.
Апория “Ахиллес” [соединение древнейшего пересказа Аристотеля с более современными формулировками]: “Быстроногий Ахиллес никогда не догонит медленную черепаху. Ибо прежде, чем это может произойти, необходимо, чтобы Ахиллес добрался до того места, откуда стартовала черепаха, но за это время она сдвинется с этой точки, пока Ахиллес доберется до нового места, она вновь сдвинется, и так – до бесконечности”.
В целом апория утверждает, что более быстрый не может догнать более медленного, т.е. движение никогда не закончится.
Апория “Стрела”: “Летящая стрела неподвижна, так как в каждый момент времени она занимает равное себе положение, то есть покоится; поскольку она покоится в каждый момент времени, то она покоится во все моменты времени, то есть не существует момента времени, в который стрела совершает движение”.
Нам кажется, что это – наиболее “эпатажная” апория, абсолютно противоречащая очевидности. Но, напомним, учитель Зенона Парменид утверждал, что органы чувств, включая зрение – плохой помощник в познании истины.
Разумеется, в отношении последней апории приводилось множество аргументов, которые сводились к тому, что Зенон не знал “бесконечно малых” и не понимал, что сумма бесконечно малых может быть вполне конкретным числом и т.д.
Это напоминает классический анекдот, когда при встрече двух политологов или социологов, один вопрошает своего коллегу: “Ты понимаешь, что происходит в стране?” Тот отвечает: “Конечно, я могу тебе все объяснить”. Но первый с досадой машет рукой: “Я и сам могу тебе все объяснить, я спрашиваю – понимаешь ли ты, что происходит?”
Дело в том, что все эти рассуждения о бесконечно малых – математическая абстракция. Грубо говоря – покоящуюся в каждый момент времени вполне конкретную стрелу вы себе не представляете, а написанные с помощью математических символов некие абстрактные бесконечно малые – легко представляете?! Как-то сомнительно.
А вот то, что наблюдаемая очевидность не выдерживает столкновения с умозаключением – это Зенон продемонстрировал блестяще. И Пушкин, кстати, прекрасно это понял.
Конечно, Ахиллес догонит черепаху, тем более, что под Троей он догнал Гектора. Конечно, можно дойти до любой точки в пределах доступных человеку расстояний. Но почему тогда до сих пор не найден ответ на апории Зенона?
NB! Чтобы ответить на этот вопрос мы должны понять, на каком неочевидном постулате, используемом “по умолчанию”, основаны апории Зенона. Речь идет о возможности бесконечно делить пространство и время на меньшие отрезки. Т.е., не существует такого пространственного или временного отрезка, который нельзя было бы разделить на меньшие отрезки.
И с точки зрения математики это так и есть. Бесконечно малые величины из высшей математики являются принципиально новым понятием относительно арифметики и алгебры, с точки зрения которых как бы близко не располагались два числа / точки, между ними всегда можно разместить третье число / точку. Более того – между любыми двумя действительными числами находится бесконечное количество действительных чисел.
Ключевая проблема – совпадает ли математическая модель непрерывного пространства с его физическим оригиналом в котором мы живем? Апория Зенона исходит из их идентичности. Но так ли это?
Интересно что противоположный – дискретный подход к пространству начал разрабатывать ученик Зенона – Левкипп, который стал первым античным “атомистом” [напомним – слово “атом” означает “неделимый”] и учителем другого крупного “атомиста” – Демокрита.
В наиболее детальном изложении до нас дошло учение античного “атомиста” Эпикура.
Древние “атомисты” считали мир дискретным, в котором нет расстояний меньших, нежели размеры атома, а, значит, существует и наименьший интервал времени.
Т.е., вместо “бесконечно малых” математических величин мы получаем “неделимые”, но конечные величины.
NB! В дискретном мире “атомистов” апории Зенона отсутствуют.
Движение начинается с преодоления первого “неделимого” расстояния. Когда расстояние между Ахиллесом и черепахой станет “неделимым”, в следующий неделимый момент времени он ее догонит.
Стрела в любой неделимый момент времени продолжает перемещаться.
Современная физика, скорее, свидетельствует в пользу “атомистов”: обнаружены элементарные частицы и кванты энергии; скоро исполнится 100 лет гипотезе о существовании хронона – кванта времени, величина которого даже рассчитана, несмотря на отсутствие физических доказательств существования.
P.S. Есть еще четвертая апория Зенона о движении, но она объяснена.
В современном изложении апория выглядит примерно так: “Имеем три параллельных ряда шаров, из которых средний ряд покоится, а два других катятся с равной скоростью в противоположных направлениях. Когда оба движущихся ряда преодолеют некое расстояние, то друг относительно друга они сдвинутся на удвоенное расстояние. Из чего следует, что половина времени равна целому”.
Сегодня даже школьнику известно, что наблюдаемая величина скорости1 объекта равна разности скорости самого объекта и скорости перемещения наблюдателя [вторая величина может быть как положительной, если объект и наблюдатель движутся в противоположных направлениях, так и отрицательной, если в одном]. Так что речь в данной апории идет не о том, что половина времени равна целому, а в том, что если относительно неподвижного ряда шары катятся с некой постоянной скоростью, то друг относительно друга они катятся с удвоенной скоростью. А потому никакой проблемы здесь нет. Но в IV в. до РХ и еще примерно 2 тысячи лет после этого – до появления Ньютона, и эта апория выглядела неразрешимой.
1 Для строгости укажем, что в данном случае речь идет о проекциях векторов скорости на некие оси, вдоль которых производится измерение.